你的国际文凭（IB）数学内部评估（IA）是一次个人数学探索，是展示你将数学应用于现实世界场景或理论问题能力的机会。虽然鼓励创新，但清晰的结构和严谨的数学表达对于获得高分至关重要。
1. 封面
需包含：
- 标题（清晰且能反映你的主题）
- IB 考生编号
- 课程及等级（例如，数学分析与方法高级水平（Math AA HL））
- 提交日期
- 考期（例如，2025 年 5 月）
- 页数（IA 必须在 12 – 20 页之间）
- 学校名称及代码
- 你的全名
- 可选：摘要（100 – 150 字，总结目标、方法和研究结果）
- 可选：真实性声明（如果学校有要求）
2. 引言
这部分应：
- 解释你选择该主题的原因（个人参与度）。
- 明确阐述你探索的目标。
- 提供背景信息（关键术语、理论的定义）。
- 概述你进行 IA 的方法（使用的方法或模型）。
- 若适用，说明建模过程中所做的任何假设。
➡ 可以将其理解为：为什么→是什么→怎么做→后续计划（你的行动计划）
3. 主体（理论与计算）
这是你 IA 的核心部分，也是获取大部分分数的地方。
理论
- 仅引入相关的数学理论。
- 解释使用特定方法的原因。
- 确保不熟悉该主题的人也能理解。
计算与应用
- 展示逐步推导过程，而不仅仅是结果。
- 使用恰当的符号、图表，并进行解释。
- 突出假设、示例计算和解释。
- 保持各部分之间的逻辑连贯性。
4. 反思与结论
结论
- 重新阐述目标，并总结目标是否达成。
- 解释关键发现及其数学意义。
- 用这部分内容清晰、简洁地总结你的研究。
反思
- 反思应贯穿整个 IA，而不仅仅在结尾处。
- 反思内容包括：
- 你的方法的优缺点。
- 数学如何加深了你对该主题的理解。
- 局限性和假设。
- 对未来工作或主题扩展的建议。
IB 指南指出：高水平的反思至关重要，具有决定性作用，且要有深刻的见解，这有助于推进探索。
5. 参考文献
- 使用一致的引用格式（如 MLA、APA 等）。
- 包含所有参考资源：网站、书籍、期刊文章、教科书等。
- 引用使用的任何公式、理论或数据来源。
IB 评分标准分解（关键标准）
| 标准 | 分值 | 提示 |
|---|---|---|
| 数学呈现 | 4 分 | 结构清晰，逻辑连贯，合理使用数学符号和表示法 |
| 个人参与度 | 3 分 | 体现个人特色 —— 选择你感兴趣的主题并有所体现 |
| 反思 | 3 分 | 批判性反思应贯穿始终，而不仅仅在结论部分 |
| 数学运用 | 6 分 | 使用恰当、准确的数学知识，并进行清晰解释 |
| 数学交流 | 4 分 | 连贯地展示所有内容；图表、符号等很重要 |
数学交流
这一评分标准用于评估学生以连贯方式组织研究和研究结果的能力。数学语言使用的流畅性通过以下方式评估：
- 符号表示（选择被普遍接受的符号）
- 术语（所有关键术语和变量在首次引入时必须进行恰当定义）
个人参与度
IA 的独特之处在于个人参与度。这一评分标准评估学生将数学内化为自己知识的能力，即从多个角度为想法的探索注入创造力。学生必须对自己正在探索的主题形成独立的理解。例如，你可以用第一人称阐述为什么决定研究傅里叶级数，可以将其与你对理解热传导的兴趣联系起来。讨论你在研究过程中遇到的挑战、感受，并强调在调查过程中所学的数学概念。
数学运用
这一评分标准评估学生在探索过程中运用数学知识的能力。鼓励简洁，难度水平应与课程水平相符。数学必须精确，并展示出清晰的逻辑结构。注意根据 IB 的标准，标准水平（SL）和高级水平（HL）在数学运用评分标准中获得 6 分的区别：
- 标准水平（SL）：“使用与课程水平相称的相关数学知识。所探索的数学内容正确，展示出全面的知识和理解。”
- 高级水平（HL）：“使用与课程水平相称的相关数学知识。所探索的数学内容精确，展示出复杂性和严谨性，展示出全面的知识和理解。”
在这两种情况下，你都应该使用与各自学习水平相似的数学知识。然而，在 HL 中，所探索的数学内容必须精确，展示出复杂性和严谨性。学生必须展示对复杂概念的掌握和运用，能够从不同角度看待数学问题，并找到连接不同数学领域的方法。
例如，数学运用部分的权重最高可达 20 分中的 6 分，而反思部分的权重最高可达 20 分中的 3 分。因此，预计你在计算部分花费的篇幅要多于反思部分。
激发兴趣的主题（注意这些主题未深入展开，旨在激发你形成更完善的目标）
| 代数与数论 | 几何 | 微积分 / 分析与函数 |
|---|---|---|
| 模运算 哥德巴赫猜想 概率数论 复数的应用 丢番图方程 连分数 三次方程的通解 对数的应用 极坐标方程 帕斯卡三角形中的模式 寻找质数 随机数 梅森质数 幻方与幻立方 轨迹与复数 矩阵与克莱姆法则 矩阵与编码 / 解码 用旋转矩阵进行图像旋转 整除性测试 埃及分数 复数与变换 欧拉恒等式：\(e^{i\pi}+1 = 0\) 中国剩余定理 费马大定理 复数的自然对数 孪生素数问题 超复数 丢番图应用：科尔数 奇完全数 求最大公因数的欧几里得算法 回文数 形如\(ak + b\)的可分解整数集 代数同余 与斐波那契数相关的不等式 组合数学 —— 计数的艺术 布尔代数 复数根的图形表示 单位根 费马小定理 质数筛法 黄金分割比（\(\phi\)）的递归表达式 物理、生物和社会科学 放射性碳测年 重力、轨道与逃逸速度 经济学中的数学方法 生物学中的数学建模 地理学中的建模：基尼系数 平均月温度建模 生物统计学 遗传学 晶体学 质心计算 椭圆轨道 对数尺度（如分贝、里氏震级等） 斐波那契数列与自然界的螺旋结构 日食预测 经济学中的均衡概念 “信贷危机” 中的数学 植物的分支模式 柱体屈曲 —— 欧拉理论 | 非欧几里得几何 卡瓦列里原理 二维和三维图形的填充 托勒密定理 六边形折纸 极小曲面与肥皂泡 超立方体 —— 四维立方体 地图投影 平面镶嵌 —— 密铺 彭罗斯瓷砖 莫雷定理 摆线 蜘蛛网的对称性 分形镶嵌 三角形的欧拉线 多边形和多面体的费马点 皮克定理与格点 正五边形的性质 圆锥曲线 九点圆 悬链线的几何形状 正多面体 多面体的欧拉公式 埃拉托色尼 —— 测量地球周长 炮弹堆叠 三角形的塞瓦定理 从圆构造圆锥 作为点的轨迹的圆锥曲线 连续整数三角形 椭圆的面积 曼德博集合和分形形状 等宽曲线 谢尔宾斯基三角形 化圆为方 多联骨牌 勒洛三角形 建筑与三角学 球面几何 螺旋曲面 —— 一种极小曲面 宇宙的几何结构 刚性和非刚性几何结构 七巧板 数值分析 线性规划 不动点迭代 近似\(\pi\)的方法 迭代的应用 方程的数值求解方法 积分的数值方法 估计大量人群的规模 生成数e 笛卡尔符号法则 求解微分方程的数值方法 | 中值定理 托里拆利小号（加百利号角） 积分到无穷大 幂级数的应用 牛顿冷却定律 微积分基本定理 最速降线（最短时间）问题 二阶微分方程 洛必达法则与极限求值 双曲函数 调和级数 时间序列 环面 —— 旋转体 抛体运动 为什么e是自然对数函数的底数 统计与建模 交通流量 逻辑函数与受限增长 肿瘤生长建模 流行病 / 病毒传播建模 鸟蛋形状建模 相关系数 中心极限定理 体育赛事成绩变化建模 假设检验 放射性衰变建模 最小二乘回归 承载能力建模 地球承载能力建模 向均值回归 过去几十年计算机性能增长建模 时间序列建模 概率与概率分布 蒙特卡罗模拟 随机游走 保险与风险计算 泊松分布与排队问题 通过概率确定\(\pi\) 贝叶斯定理 正态分布与自然现象 医学检测与概率 概率与期望 逻辑与集合 密码与编码 集合论与不同 “大小” 的无穷 （强）数学归纳法 反证法 芝诺的阿喀琉斯与乌龟悖论 |
重要提醒
- 篇幅控制在 12 – 20 页（双倍行距）。
- 使用恰当的章节标题（例如，引言、分析、反思）。
- 你的同学应能在无需额外帮助的情况下理解你的 IA。
- 始终紧扣你的目标。
- 尽量保持个人化的语气，尤其是在反思部分。
总之，结构良好的布局对于成功完成数学 IA 至关重要，包括引言、主体、分析和结论。满足评分标准对于获得高分也必不可少，评分标准包括呈现方式、交流能力和反思等方面。遵循这些指南，你可以写出引人入胜且内容丰富的数学 IA。
